Interessante feit rakende breuke

breukeToon aan dat wanneer die som van twee onvereenvoudigbare breuke gelyk is aan 1, die twee breuke dieselfde noemer moet hê.

Oplossing:

Veronderstel dat a/b en c/d twee onvereenvoudigbare breuke is en dat a/b + c/d = 1.

Deur beide kante van hierdie gelykheid te vermenigvuldig met bd, vind ons dat

ad + bc = bd .

Ons herskryf hierdie gelykheid soos volg : ad = bd – bc of ad = b ( d – c ).

Omdat b ‘n deler is van die regterkant, moet b uiteraard ook die linkerkant, ad deel. Maar omdat a/b onvereenvoudigbaar is, kan b geen deler wees van a nie. Gevolglik is b ‘n deler van d.

Ons kan die gelykheid onder punt 2 egter ook herskryf as bc = bd – ad of bc = d ( b – a ).

Omdat d ‘n deler is van die regterkant, moet d uiteraard ook die linkerkant bc deel. Maar omdat c/d onvereenvoudigbaar is, kan d geen deler wees van c nie. Gevolglik is d ‘n deler van b.

Uit punt 4 en 6 volg dan outomaties dat b = d . Dus, die twee breuke het dieselfde noemer.